Learning Mathematics with Understanding
En este ensayo se discute una caracterización del entendimiento en términos de la construcción de relaciones o conexiones robustas entre los nuevos conocimientos y aquellos que se conocen de forma previa. Además, se describen cinco elementos que pueden ser útiles en la identificación de un salón de clase en el que se promueve el entendimiento o en la selección de aquellas acciones didácticas que un profesor debería llevar a cabo si busca que sus estudiantes construyan una comprensión conceptual de las ideas matemáticas.
Palabras clave: Aprendizaje, Entendimiento, Matemáticas
In this essay we discuss a notion of understanding based on construction of meaningful connections or relationships between new knowledge and concepts that we already know. We also describe five elements that can be useful for identifying mathematics classrooms that promote understanding, or for selecting didactical actions that can help us to build a supportive environment for mathematical understanding.
Key words: Learning, Understanding, Mathematics.
Uno de los objetivos que orientan la actividad del profesor de matemáticas en el salón de clase es que los estudiantes entiendan ideas y conceptos matemáticos relevantes. El entendimiento se considera como fundamental en los procesos de aprendizaje, ya que al entender una idea, ésta se puede usar con flexibilidad, adaptarse para resolver problemas y ser la base para aprender otros conceptos y métodos. Además, el entender proporciona satisfacción y un sentimiento de logro. Sin embargo, pocas veces hemos reflexionado acerca del significado de entender. Por ejemplo, ¿cuándo nos hemos preguntado qué significa que un estudiante entienda la multiplicación de números enteros o la ecuación cuadrática? El entendimiento es una idea compleja, no es algo estático que se obtiene de una vez y para siempre, por el contrario, es algo en constante evolución, que cambia y se desarrolla a través de diversos niveles.
Pudiésemos decir que saber matemáticas significa, entre otras cosas, entender los conceptos, ideas y procesos centrales en la disciplina, profundizar en estos conceptos e ideas, estructurar relaciones para conocer cómo funcionan las cosas, y conocer por qué funcionan como lo hacen. También significa identificar las formas en que los diferentes conceptos, ideas y procedimientos se relacionan entre sí. En este sentido, entender matemáticas va más allá de memorizar hechos, procedimientos o algoritmos y de poseer habilidad para realizar operaciones aritméticas o algebraicas. Aprender matemáticas no es solo la acumulación de pedazos de información acomodados en una secuencia, aprender matemáticas se relaciona con la participación activa del estudiante en la construcción y desarrollo de relaciones o resultados matemáticos (Santos-Trigo, 2007). Esto es, saber y entender matemáticas requiere de hacer matemáticas.
La instrucción matemática debe desarrollar la comprensión de los estudiantes sobre conceptos importantes […]. La instrucción debe estar orientada a la comprensión conceptual, más que a las meras habilidades mecánicas, y a desarrollar en los estudiantes la capacidad de aplicar los contenidos que han estudiado con flexibilidad e ingenio (Schoenfeld, 1992, p. 344).
Han existido diferentes intentos por determinar qué es el entendimiento, pero una caracterización que nos parece de especial relevancia es aquella que lo define en términos de conexiones. De acuerdo con Hiebert y colaboradores (1997), entendemos algo cuando podemos ver cómo ese algo se relaciona o conecta con otras cosas que conocemos.
Entendemos a cierto nivel el Teorema de Pitágoras si conocemos su enunciado “En un triángulo rectángulo, la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa” y podemos aplicarlo para resolver problemas en los que hay que encontrar el valor desconocido de un lado si se conocen los valores de los otros dos lados del triángulo rectángulo. Tendremos otro nivel de entendimiento de este teorema si podemos caracterizar a todos los números enteros x, y y z que satisfacen la ecuación x2+y2=z2 o si conocemos la interpretación geométrica del teorema: si se construyen cuadrados sobre los lados de un triángulo rectángulo, entonces las suma de las áreas de los cuadrados que se encuentran sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.
Alcanzar un nivel mayor de entendimiento del teorema, requeriría de capacidad para extender el resultado, esto es, para justificar que la suma de las áreas de semicircunferencias, triángulos, pentágonos, o cualquier otra figura construida sobre los catetos de un triángulo rectángulo, es igual al área de la figura construida sobre la hipotenusa siempre que todas estas figuras sean semejantes. Otro nivel de entendimiento de la ecuación x2+y2=z2 se relaciona con determinar qué características poseen las matrices que satisfacen tal ecuación.
Es importante destacar que las relaciones mencionadas en la definición de entendimiento deben ser estructuradas, esto es que las conexiones deben permitir profundizar en las ideas, conceptos o procedimientos. Cuando se promueve la construcción de conexiones robustas, el conocimiento se organiza en redes conceptuales que permiten extenderlo. Estas redes pueden ser imaginadas como telarañas que se van haciendo cada vez más complejas. Pero ¿cómo se construyen relaciones importantes durante el aprendizaje de las matemáticas? La respuesta es que se construyen mediante los procesos de reflexión y comunicación de ideas que se ponen en juego durante la actividad de resolver y formular problemas. Entendemos como problema a una tarea o situación en la que aparecen componentes tales como la existencia de un interés por encontrar una solución, la no existencia de una ruta o camino inmediato para abordar la tarea y la posibilidad de organizar varios caminos o métodos de solución (Santos-Trigo, 2007).
La reflexión tiene lugar cuando uno piensa conscientemente acerca de las experiencias a las que se ha enfrentado, cuando considera las cosas desde diferentes puntos de vista, y al analizar conscientemente lo que uno hace y las razones de por qué lo hace. Por otra parte, la comunicación se relaciona con escuchar, hablar, escribir, observar, justificar y participar en un proceso de interacción social con los miembros de una comunidad de aprendizaje, al compartir las ideas propias, escuchar las ideas de otros; así como al pensar, analizar, evaluar y ofrecer sugerencias para complementar o mejorar esas ideas. La comunicación implica cuestionar, pedir aclaraciones y explicaciones, todo lo cual favorece pensar con mayor profundidad para describir nuestras propias ideas, explicarlas claramente y justificarlas. Los estudiantes que disponen de oportunidades para reflexionar sobre el trabajo matemático que desarrollan y para comunicar a otros sus formas de pensar, cuentan con un ambiente propicio para construir conexiones robustas durante el estudio de las matemáticas.
El salón de clase requiere de condiciones para que los estudiantes lleven a cabo actividades centrales de la actividad matemática tales como explorar, examinar y representar ideas; observar relaciones, formular y justificar conjeturas, comunicar resultados, formular nuevos problemas; así como extender o transformar problemas ya resueltos. Algunos aspectos que se han identificado como relevantes en la construcción de un ambiente favorable para el aprendizaje con entendimiento y el desarrollo de las actividades antes mencionadas son: (i) la naturaleza de las tareas, (ii) el papel del profesor, (iii) la cultura social del salón de clase, (iv) las herramientas matemáticas disponibles y (v) la equidad o accesibilidad (Hiebert et al., 1997). Es importante resaltar que estos aspectos proporcionan lineamientos sobre cómo abordar los contenidos matemáticos, no sobre qué contenidos debe incluir el currículo.
Las características de las tareas que se abordan en el salón de clase son determinantes del tipo de conocimiento que los estudiantes pueden construir (Stein y Smith, 1998) y establecen las bases del sistema de instrucción que se desarrolla en el aula (Hiebert et al., 1997). Para que un sistema de instrucción favorezca la reflexión, la comunicación y, en consecuencia, el entendimiento, debe incluir tareas que sean verdaderos problemas, es decir actividades que permitan a los estudiantes diseñar sus propios procedimientos de solución, con base en los recursos o conocimientos previos que poseen. Las tareas deben ser problemáticas en el sentido de que representen un reto intelectual, más que solo dificultades a nivel operacional o de cálculo; deben ser tareas interesantes y tener sentido para los estudiantes. También es importante que las tareas permitan a los estudiantes utilizar sus conocimientos previos para diseñar una o varias rutas de solución y favorezcan la reflexión sobre ideas matemáticas importantes, de forma que al finalizar el proceso de resolución de problemas el estudiante haya construido nuevas relaciones entre conceptos, ideas o estrategias.
Si los estudiantes dedican tiempo a reflexionar sobre por qué las cosas funcionan como lo hacen, o sobre las similitudes y diferencias entre ideas o procedimientos, o sobre cómo aquello que conocen se relaciona con las nuevas situaciones a las que se enfrentan, es muy probable que puedan construir relaciones robustas. La forma en que los estudiantes emplean el tiempo que pasan en el aula, así como las concepciones que se forma acerca de la disciplina y lo que significa aprenderla, dependen de las tareas a las que se enfrentan en el salón de clase. Las tareas proporcionan el contexto en el cual los estudiantes reflexionarán y comunicarán sus ideas, además son el medio que crea la necesidad de seleccionar y usar diversas herramientas matemáticas.
En resumen, el aprender matemáticas bajo esta perspectiva supone que los estudiantes construyen un aprendizaje con entendimiento sólo cuando son capaces de elaborar sus propios procedimientos o herramientas para resolver problemas y cuando construyen el significado de los conceptos o desarrollan modelos o nuevas herramientas a partir de sus experiencias en el aula, al abordar actividades problemáticas. Si se busca que los estudiantes entiendan matemáticas debemos pensar que el entendimiento es algo que resulta de resolver problemas, más que algo que podemos enseñar directamente.
El objetivo central del profesor es diseñar un ambiente que favorezca el entendimiento conceptual. Lo anterior incluye conocer cómo piensan sus estudiantes, identificar las diferentes formas o estilos de aprendizaje y buscar, modificar o diseñar secuencias de tareas que sean verdaderos problemas, es decir tareas que permitan a los estudiantes reflexionar sobre ideas matemáticas importantes y comunicar el producto de su reflexión. Otras funciones del profesor son: participar en las discusiones, cuidando que su intervención no comprometa el carácter problemático de las tareas, y compartir información cuando esta sea esencial para abordar los problemas. Además, el profesor debe promover el establecimiento de una cultura del salón de clase en la que los estudiantes trabajen individual o grupalmente, y que les permita reflexionar sobre las soluciones y sobre las rutas o métodos de solución.
Un salón de clase que promueve el entendimiento es una comunidad de aprendizaje en la que los estudiantes tienen oportunidades para pensar y razonar acerca de conceptos o ideas matemáticas relevantes, comunicar resultados y justificarlos con base en argumentos matemáticos. Respecto al último punto, el uso de la lógica y la evidencia matemática, y no la autoridad del profesor, son el medio de verificación y validación que es aceptado por los miembros de una comunidad de aprendizaje. En esta comunidad la interacción entre sus miembros es algo esencial, ya que la comunicación es indispensable para construir un aprendizaje con entendimiento.
¿Cuáles son las características de la interacción que se debe llevar a cabo entre los miembros de una comunidad de aprendizaje? En primer lugar, es importante que se consideren, examinen y valoren las ideas de todos los miembros de la comunidad, ya que cada una de ellas tiene el potencial para favorecer la reflexión y el aprendizaje. En segundo lugar es necesario respetar la autonomía de los estudiantes respecto del diseño de los métodos o las rutas de solución; es decir, se debe reconocer que para resolver un mismo problema se pueden utilizar diversos métodos o caminos. Una tercera característica es que en una comunidad de aprendizaje los errores se consideran como oportunidades para aprender, ya que el equivocarse permite a los integrantes de la comunidad reflexionar sobre los aspectos o características que produjeron el error.
Las herramientas juegan un papel central en la construcción de conocimiento matemático porque constituyen el medio a través del cual los estudiantes pueden pensar y reflexionar acerca de los objetos o ideas relevantes en la disciplina. Es decir, la actividad mental que se desarrolla al abordar una actividad problemática depende del tipo de herramientas que se utilicen durante el proceso de solución, ya que todo acto cognitivo está mediado por instrumentos materiales o simbólicos (Wertsch, 1993).
Las herramientas matemáticas (manipulables físicos, software, lenguaje oral, lenguaje escrito, representaciones simbólicas) son medios que apoyan el aprendizaje, pero para usar las herramientas como apoyo, los estudiantes tienen que construirles un significado, lo cual requiere de un trabajo sistemático con éstas y un proceso de reflexión sobre cómo funcionan. Es decir, el significado no reside en las herramientas sino que constituye una construcción que llevan a cabo los estudiantes al utilizarlas para resolver problemas.
Las herramientas cumplen diversas funciones durante el proceso de resolución de problemas, pueden utilizarse, por ejemplo, para mantener un registro de las ideas analizadas o de los logros alcanzados y funcionar como un medio para amplificar la memoria biológica. Pueden utilizarse para comunicar de forma efectiva nuestras ideas, para justificar resultados y como apoyos para el pensamiento. Para ejemplificar todos los aspectos anteriores se muestra cómo un estudiante de quinto año de primaria utiliza representaciones gráficas como herramientas para entender y resolver el siguiente problema.
Emilia quiere llenar un tanque para su tortuga con 4 cubetas de agua. En cada viaje Emilia llena la cubeta desde una fuente y camina hacia el tanque, pero en el camino derrama 1/3 del contenido de la cubeta. ¿Cuántos viajes tiene que hacer para llenar el tanque? (Rubio, 2006, p. 13)
El estudiante representó gráficamente las cuatro cubetas mediante rectángulos y a cada una la dividió en tercios. A continuación marcó con colores diferentes la cantidad de agua transportada en cada uno de los viajes. A partir de la representación el estudiante concluyó y explicó que el número de viajes necesarios para llenar el tanque es igual a 6.
Figura 1. Uso de una representaciones gráficas como herramientas para resolver problemas.
Las herramientas matemáticas son un recurso esencial para construir un aprendizaje con entendimiento, y el tipo de herramientas que los estudiantes utilicen influirá sobre las características del entendimiento que logren desarrollar, ya que cierto tipo de herramientas favorecerán el establecimiento de algunas conexiones, mientras que otras herramientas apoyarán la realización de conexiones diferentes. Así, es importante que en los salones de clase se promueva el uso de diversas herramientas en la resolución de problemas.
El profesor debe ofrecer oportunidades a todos sus estudiantes para aprender, independientemente del ritmo y estilo de aprendizaje de cada uno de ellos. La equidad no se refiere a tratar a todos los estudiantes de la misma forma o a emplear las mismas tareas para promover el aprendizaje de cada uno de los estudiantes, sino a que cada estudiante tiene derecho (y capacidad) para entender las ideas matemáticas. Por esta razón, las tareas deben ser accesibles para todos los estudiantes, esto es, que los estudiantes a partir de sus conocimientos previos puedan abordarlas y diseñar al menos una ruta de solución. El logro de la equidad y la accesibilidad requiere que el profesor escuche cuidadosamente lo que dice cada estudiante y analice con detenimiento las ideas que expresa. La equidad significa, en parte, que cada estudiante sea considerado como un ser individual que posee características y una historia particular.
Crear un ambiente favorable para el entendimiento requiere de un profesor que posea sólidos conocimientos de matemáticas, epistemología y didáctica. Se requiere de un profesor que sea sensible, que escuche a los estudiantes y entienda la forma en que piensan, para que con base en este conocimiento pueda seleccionar o diseñar tareas que favorezcan los procesos de reflexión y comunicación que son el fundamento de un aprendizaje con entendimiento.
Los cinco aspectos que caracterizan a un salón de clase en el que se promueve el entendimiento se encuentran interrelacionadas de forma estrecha, por lo cual no se puede centrar la atención sólo en uno o algunos de ellos, sino que todos son fundamentales para lograr que los estudiantes entiendan matemáticas.
La enseñanza no es una actividad algorítmica, ya que no existe un conjunto de tareas o de estrategias que sean efectivas para todos los salones de clase, dada la naturaleza situada del aprendizaje (Lave y Wenger, 1991). El contexto social y las características particulares de los estudiantes determinan en gran medida cuales son las tareas, las herramientas y el ambiente del aula que pueden favorecer un aprendizaje con entendimiento. Lo anterior significa que una tarea o un contexto de aula que hayan sido efectivos en un contexto urbano, por ejemplo el de la Ciudad de México, puede que no sean útiles o apropiados para promover el aprendizaje de las matemáticas en un ambiente o contexto sociocultural diferente, como podría ser el de la sierra Tarahumara o la Huasteca Hidalguense.
Hiebert, J., Carpenter, T. P., Fennema, E., Fuson, K. C., Wearne, D., Murray, H., Olivier, A., & Human, P. (1997). Making sense: teaching and learning mathematics with understanding. Portsmouth, NH: Heinemann.
Lave, J., & Wenger, E. (1991). Situated learning: Legitimate peripheral participation. Cambridge: Cambridge University Press.
Rubio, C. J. (2006). Problemas para la 20a. Olimpiada Mexicana de Matemática en San Luis Potosí. Mérida: Universidad Autónoma de Yucatán.
Santos-Trigo, M. (2007). La resolución de problemas matemáticos: fundamentos cognitivos. México: Trillas.
Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: problem solving, metacognition, and sense making in mathematics. In: D. A. Grows (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 334–370). NY: Macmillan.
Stein, M. K. & Smith M. S. (1998). Mathematical tasks as a framework for reflection: From research to practice. Mathematics Teaching in the Middle School, 3, 268-275.
Wertsch, J. V. (1993). Voices of the Mind: a sociocultural approach to mediated action. Cambridge, MA: Harvard University Press.
[a]Profesor Investigador del Área Académica de Matemáticas y Física, UAEH..
[b]Profesor Investigador del Área Académica de Matemáticas y Física, UAEH.