Factorización por agrupamiento

Resumen

En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática en forma de producto. La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras en la factorización, se buscan los factores de un producto dado. Tiene como objetivo simplificar o rescribir una expresión en factores o en divisores que logran dividir las expresiones que al ser multiplicadas entre sí resulta la primera expresión. Existen diferentes tipos de factorización, las cuales permiten descomponer distintas expresiones algebraicas, entre las que destacan: factor común, por agrupamiento, diferencia de cuadrados y trinomios de la forma imagenes, entre otros.


Palabras clave: factorización, factor común, términos semejantes, diferencia de cuadrados, trinomio, binomios conjugados, simplificar.

Abstract

In mathematics, factorization is a technique that consists of the decomposition of a mathematical expression in the form of a product. Factorization can be considered as the inverse operation to multiplication, since the purpose of the latter is to find the product of two or more factors; While in factorization, we look for the factors of a given product. It aims to simplify or rewrite an expression in factors or divisors that manage to divide the expressions that when multiplied with each other results in the first expression. There are different types of factorization, which allow the decomposition of different algebraic expressions, among which are: common factor, grouping, difference of squares and trinomials of the form imagenes, among others.


Keywords: factorization, common factor, similar terms, difference of squares, trinomial, conjugated binomials, simplify.

FACTORIZACIÓN

Para entender el concepto teórico de este tema, es necesario recordar el término FACTOR es el nombre que se le da a toda cantidad, en palabras más técnicas, un factor es toda cantidad que se está multiplicando con otra. Así, FACTORIZAR una cantidad o expresión significa encontrar sus factores, es decir, aquellos números que multiplicados dan dicha cantidad. Por ejemplo, factorizar el número 6 significa hallar los números que multiplicados entre sí dan el 6. Son el 2 y el 3, ya que 6 = 2 × 3. Factorizar el 6 es escribirlo de la forma 2 × 3.

Cuando se trata de una expresión algebraica, factorizarla es también escribirla de manera que su operación principal sea la multiplicación. Para factorizar expresiones algebraicas es necesario clasificarlas en diferentes casos; por factor común, por agrupamiento, diferencia de cuadrados y trinomio de la forma imagenes, entre otros.

FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN

Para factorizar por agrupación es necesario recordar la factorización por factor común, ésta consiste en:

En la regla anterior, debe quedar claro que la afirmación "luego de haberle quitado a cada término los factores comunes", no debe entenderse como simplemente borrarlos o desaparecerlos, sino que es equivalente a realizar una división de cada término de la expresión original entre el factor común, ya que lo que se está multiplicando (factor) se quita a través de su operación inversa que es precisamente la división.

 

Ejemplo: Factorizar imagenes

Solución: Se localizan y se escriben todos los factores comunes: en este caso es 2ab.

Se escribe a continuación un paréntesis y adentro de él lo que queda de la expresión original luego de haberle quitado a cada término los factores comunes:

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Ejemplo: Factorizar imagenes

Solución: Se localizan y se escriben todos los factores comunes: en este caso es imagenes

Se escribe a continuación un paréntesis y adentro de él lo que queda de la expresión original luego de haberle quitado a cada término los factores comunes. Como el factor común es todo el primer término de la expresión original, en su lugar se pone 1.

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Una vez recordado la factorización por factor común, pasamos a la factorización por agrupación.

El proceso consiste en formar grupos o agrupar términos en cantidades iguales (de dos en dos, o de tres en tres, etc.), para luego factorizar cada grupo por factor común y finalmente volver a factorizar por factor común, en donde el paréntesis que debe quedar repetido en cada grupo es el factor común.

Como regla práctica, el signo del primer término de cada grupo es el signo que debe ponerse en cada factorización por factor común.

 

Ejemplo: Factorizar imagenes

Solución: Se forman dos grupos, uno con los dos primeros términos y el otro con los otros dos términos.

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Factorizando cada grupo por factor común: El primer grupo tiene a c como factor común, mientras que el segundo grupo tiene al 5. De manera que resulta que:

imagenes

 

Obsérvese que en ésta última expresión (la de la derecha del signo igual), la operación principal es la suma, por lo que no está aún factorizado.

Volviendo a factorizar por factor común, ya que el paréntesis repetido es ése factor común, finalmente se obtiene que:

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Obsérvese que en esta última expresión (la de la derecha del signo igual), la operación principal es la multiplicación, por lo que ya está factorizado.

 

Ejemplo: Factorizar imagenes

Solución: En este caso, el hecho que haya seis términos sugiere que se pueden formar dos grupos de a tres términos cada uno. Se forman entonces dos grupos, uno con los tres primeros términos y el otro con los otros tres términos.

imagenes

 

Nótese que el signo que quedó entre cada grupo fue positivo.

Factorizando cada grupo por factor común: El primer grupo tiene ab 2 como factor común, mientras que el segundo grupo tiene al 3. De manera que resulta que:

 

imagenes

 

Como el signo que había quedado anteriormente entre cada grupo fue positivo, ese mismo signo es el que se colocó entre cada factorización. Obsérvese que en ésta última expresión (la de la derecha del signo igual), la operación principal es la suma, por lo que no está aún factorizado. Volviendo a factorizar por factor común, ya que el paréntesis repetido es ése factor común, finalmente se obtiene:

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Ejercicio. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas.

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FACTORIZACIÓN DIFERENCIA DE CUADRADOS

Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.

Al estudiar los productos notables teníamos que:

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En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este caso es lo contrario:

imagenes

 

Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases. De lo anterior puede escribirse la siguiente regla:

Una diferencia de cuadrados se factoriza en dos binomios conjugados, formados con las raíces cuadradas de los términos originales.

Es importante señalar que da lo mismo que primero se escriba el binomio suma que el binomio resta, ya que la multiplicación es conmutativa.

Ejemplo 1: Factorizar imagenes

Resolviendo: imagenes

 

De manera que los binomios conjugados que corresponden son:

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La factorización es: imagenes

 

Ejemplo 2: Factorizar imagenes

Resolviendo: imagenes

De manera que los binomios conjugados que corresponden son:

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Ejercicio. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas.

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FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA imagenes

Para factorizar un trinomio de la forma: imagenes, se utiliza el siguiente proceso.

Procedimiento:

Se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x, o sea la raíz cuadrada del primer término. Es decir: imagenes

Ejemplo:

imagenes

Este trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de:

imagenes imagenes

 

En el primer binomio, después de x, se pone el signo (+) porque el segundo término del trinomio (+) 5x tiene signo (+). En el segundo binomio, después de x, se escribe el signo que resulta de multiplicar (+5x) por (+6) y como (+) por (+) da (+), entonces:

imagenes

 

Dado que en estos binomios hay signos iguales, buscamos dos números cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6. Dichos números son 2 y 3, luego:

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Comprobación:

imagenes 

 

Para verificar que la solución del trinomio es correcta; se resuelve el producto de los binomios obtenidos, es decir;

imagenes

 

A continuación, se da a conocer otro algoritmo para resolver un trinomio de la forma:

imagenes

 

La forma de estos trinomios es que debe haber una sola equis (x) cuadrada. La letra b representa en general a cualquier número que vaya junto a la x; y la c representa a cualquier número que vaya sin la x.

El procedimiento de factorización para estos casos consiste en buscar dos números, a los cuales se les llamará m a uno y n al otro, los cuales deben cumplir los requisitos dados en la siguiente regla:

Para factorizar un trinomio de la forma x^2+bx+c, se buscan dos números m y n tales que:

Cada uno de esos números hallados m y n se colocan uno en cada paréntesis, de la siguiente manera: imagenes

 

Ejemplo: Factorizar: imagenes

Solución: En este caso, b = - 2 y c = - 24.

Se buscan dos números que sumados den - 2 y que multiplicados den - 24. Son + 4 y - 6. Los factores buscados son (x + 4) y (x - 6).

Finalmente significa que imagenes

Ejercicio. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas.

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Referencias bibliográficas

Matemáticas simplificadas 2ª Edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009 ISBN: 978-607-442-348-8 Área: Matemáticas



[a] Profesor Investigador de la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo.