En este trabajo se discutirá como elegir el mejor lugar en una sala de cine conociendo las dimensiones de la misma.
Palabras clave: cine, ley de cosenos, teorema de Pitágoras, cálculo.
In this paper will discuss how to choose the best place in a movie theater knowing the dimensions of it.
Keywords: Movie theater, law of cosines, Pythagorean theorem, calculus.
Una parte complicada cuando se sale al cine con los amigos(as), el novio o la novia, es decidir qué película se quiere ver y aún más difícil si se tienen gustos bastante distintos unos de otros. Una vez superada esa dificultad (no siempre de forma satisfactoria), inmediatamente se presenta otra a la hora de entrar a la sala de cine: ¿en qué fila se apreciará mejor la película? Analicemos el problema ¡usando matemáticas!
Supongamos que la pantalla de cine se encuentra colocada a 10 pies del suelo, y tiene una altura de 25 pies. Las filas de asientos empiezan a 9 pies de la pantalla y hay una separación entre ellas de 3 pies. El piso donde se encuentran localizadas las filas tiene una inclinación de 20° con respecto a la horizontal que equivale a 
radianes, y llamaremos 
a la distancia hacia arriba del plano inclinado, donde el observador toma asiento. La sala de cine tiene 21 filas, por lo tanto 
. Supongamos también que sus ojos están a 4 pies sobre el suelo del plano inclinado. Finalmente, supongamos que usted decide que el mejor lugar es donde el ángulo 
obtenido por la pantalla en sus ojos es máximo, como se muestra en la Figura 1[1].
Llamemos 
a la distancia que hay entre el punto 
y el punto 
. El problema consiste en encontrar a que distancia 
sobre la recta inclinada 
debe usted sentarse de tal forma que el angulo de visión sea máximo. Para ello necesitamos poder expresar el ángulo 
en función de 
, esto es, debemos ser capaces de decir cómo cambia el valor de cuando 
cambia de valor.
Para ello co
nsidere el 
(el triángulo formado por los puntos 
), y llámenos 
al segmento 
, 
al segmento y 
al segmento 
, como se muestra en el Figura 2. Por la ley de cosenos, sabemos que
despejando 
de la ecuación obtenemos
Sabemos además que 
= 25, sustituyendo en la ecuación anterior tenemos
Tenemos ya una expresión matemática para 
, pero nos hace falta conocer los valores de 
y 
. Calculemos primero el valor de 
. Para ello considere el 
(el triángulo rectángulo formado por los puntos 
). Por el teorema de Pitágoras, sabemos que
.
Calcularemos primero la longitud de 
. Cómo 
es paralela a 
y 
es paralela a 
, entonces se tiene
= 
. (1)
Por otra parte, note que 
= 9 + 
. Para calcular la longitud del segmento 
considere ahora el 
, por las funciones trigonométricas tenemos
despejando 
tenemos
.
Luego
. (2)
Para calcular la longitud de 
note que 
. Por el mismo argumento para la ecuación (1), se sabe que 
. Pero 
, luego, considerando nuevamente el 
, obtenemos
despejando 
.
Finalmente
(3)
Así, por (2) y (3) tenemos que
.
Similarmente calculamos 
. Para ello considere ahora el 
. Nuevamente por el teorema de Pitágoras se tiene
Observe que 
que ya calculamos antes. Ahora, 
. A 
lo hemos calculado ya antes y 
. De esta forma se tiene que
.
Entonces
.
Recapitulando, tenemos
donde
y 
.
Valiéndonos de algún sistema computarizado de álgebra (en este caso usaremos Maple 13) calcularemos la derivada de la función 
y resolveremos la ecuación 
para hallar el punto 
donde 
alcanza su máximo. Haciendo lo antes dicho, las soluciones de la ecuación 
son
= 8.25306209, -27.40826201, -9.57759996.
Como solo nos interesa 
, tomaremos 
= 8.25306209 y por el criterio de la segunda derivada tenemos que 
= 8.25306209 es un máximo, como se puede apreciar en la Figura 3.
Estamos listos ya para contestar las dos preguntas fundamentales: ¿En cuál fila debe sentarse? ¿Cuál es el ángulo de visión en esta fila?
Para contestar a la primera, sabemos que el máximo se alcanza en 
= 8.25306209, eso significa que usted debe sentarse en la tercera fila pues recuerde que hay espacio de 3 pies entre ellas. Para contestar a la segunda pregunta basta sustituir en valor de 
en la ecuación (4) y obtenemos 
= 0.8469241775, pero recuerde que este valor esta dado en radianes, su equivalente en grados es 
= 48.52518094, y ese es su ángulo máximo de visión.
Las dimensiones de las salas de cine varían según la compañía cinematográfica y el tipo de sala (tradicional, 3D, platino, etc.) así que si el lector de alguna forma averigua las dimensiones de su cine y sala favorita, lo único que tiene que hacer es sustituir esos valores en 
y 
y en (4).
Referencias
[1] James Stewart. Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. Sexta Edición. Cengage Learning Editores. 2008.
[a]Pasante de la licenciatura en Matemáticas Aplicadas de la UAEH.