El estudio de la ecuación cuadrática en el contexto de la física sirve como una plataforma para establecer conexiones de los conceptos fundamentales de la ecuación cuadrática. De esta manera se asocian aspectos de la ecuación cuadrática con el tema de caída libre de los cuerpos, mostrando como se puede transitar de un contexto a otro con la finalidad de lograr la comprensión de los conceptos matemáticos
Palabras clave: Ecuación, cuadrática, raíz, caída libre.
The study of the quadratic equation in the context of physics serves as a platform to establish connections of the fundamental concepts of the quadratic equation. By this way, the aspects of the quadratic equation are associated with the issue of free falling bodies, showing how you can move from one context to another in order to develop the comprehension of mathematical concepts.
Keywords: Equation, square root, freefall.
ESTUDIO DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA EN EL CONTEXTO DE LA FÍSICA
En el estudio de cualquier tema matemático es importante que se plantee la búsqueda de conexiones y relaciones en áreas diferentes al de las matemáticas, de manera que se facilite el entendimiento y significado de los conceptos fundamentales al relacionarlos con otros contenidos (NCTM, 2000).
De esta manera, al conectar la ecuación cuadrática en el contexto de la física, se pueden identificar y aplicar conceptos matemáticos en un área distinta.
En este sentido Schoenfeld (citado en Santos, 1997), sugiere que para entender conceptos matemáticos, es necesario proponer actividades que ayuden a los estudiantes a discutir los conceptos en diferentes contextos.
Bajo esta visión, se pueden relacionar aspectos generales de caída libre de los cuerpos con aspectos fundamentales de la ecuación cuadrática, ya que dichas ecuaciones cuadráticas juegan un papel importante en el área de la física.
El movimiento de caída libre es un movimiento uniformemente acelerado, es decir, la aceleración instantánea es la misma en todos los puntos del recorrido y coincide con la aceleración media, y esta aceleración es la aceleración de la gravedad g = 9,8 m/seg2.
Un objeto en caída libre experimenta una aceleración de 9.8 m/seg2 (negativo) indicando una aceleración hacia abajo, de esta manera si un objeto cae de una cierta altura, la velocidad inicial del objeto es 0 m/seg.
Es importante considerar que la ecuación que permite calcular la distancia de un cuerpo en caída libre corresponde a la siguiente ecuación cuadrática:
Debemos considerar, que la distancia s en la ecuación anterior representa el desplazamiento hacia abajo del origen. Si s es negativo, indica un desplazamiento por debajo del punto de partida.
Por ejemplo:
Se deja caer un objeto desde la azotea de un edificio, como se muestra en la figura 1, dada su velocidad inicial igual a cero, encontrar su posición o distancia desplazada hacia abajo después de 0 seg., .5 seg., 1 seg., 1.5 seg., 2 seg., 2.5 seg., 3 seg.
Entonces la posición como función del tiempo se calcula a partir de la ecuación
Debido a que la velocidad inicial es cero, y la aceleración de la gravedad es (-9.8 m/seg2) ya que el desplazamiento del cuerpo es hacia abajo; entonces podemos calcular la distancia en función del tiempo a partir de la ecuación cuadrática anterior, y tenemos:
A partir de la función cuadrática anterior podemos calcular la distancia recorrida por el cuerpo en caída libre.
Después de 0 seg., el cuerpo caerá a una distancia de:
Después de 1 seg., el cuerpo caerá a una distancia de:
En forma similar se obtiene las demás distancias después de 1.5, 2, 2.5 y 3 segundos respectivamente.
En la siguiente tabla se muestran los datos calculados:
(segundos) |
(metros) |
| |
|
| |
Tabla 1
Con los datos anteriores, podemos obtener la gráfica de la función asociada a la ecuación cuadrática que calcula la distancia, es importante considerar que el signo negativo de la distancia indica el desplazamiento del objeto hacia abajo.
La gráfica de una función cuadrática corresponde a una parábola, la cual puede intersecar uno, dos o ningún punto del eje horizontal, de esta manera podemos deducir que al graficar los datos mostrados en la tabla 1 obtendremos una curva correspondiente a la función cuadrática:
En la gráfica de la función cuadrática de la figura 2 podemos observar que la gráfica interseca al eje x en el punto (0,0), por tanto las raíces de la ecuación cuadrática corresponden a x1= 0 y x2=0; y se pueden asociar o interpretar con el punto de partida donde se dejo caer el objeto.
Retomando así los conceptos fundamentales de la ecuación cuadrática, las raíces de una ecuación cuadrática son los puntos de intersección de la gráfica de su función cuadrática asociada con el eje x, lo cual nos permite mostrar de manera evidente que la ecuación que permite calcular la distancia de un cuerpo en caída libre es una ecuación cuadrática y que en el contexto de la física el concepto raíz también tiene una interpretación y significado.
De esta forma, aspectos relacionados con la ecuación cuadrática pueden ser abordados en otros contextos, mostrando de esta manera la conexión que guardan los conceptos y sus relaciones con otra disciplina.
Es claro, que en el contexto de la física, los conceptos fundamentales que emergen del estudio de la ecuación cuadrática también pueden ser conectados e interpretados con aspectos fundamentales de caída de los cuerpos, como se muestra en la figura 3.
Figura 3 Muestra la gráfica de la distancia recorrida por un cuerpo que se dejo caer desde la azotea de un edificio.
En este sentido, las raíces en el contexto de la física pueden ser interpretadas, como el punto en donde se dejo caer un objeto o el punto de partida de dicho objeto, y en forma algebraica obtendríamos el valor de la raíces aplicando la formula general y determinar a partir del valor del discriminante que la grafica de la función cuadrática asociada interseca en un punto al eje x, teniendo así la ecuación cuadrática dos raíces iguales las cuales corresponden al punto de intersección de la gráfica de la función con el eje horizontal.
A partir de dicha interpretación podemos identificar las raíces en la grafica de la función cuadrática y considerando los datos proporcionados al calcular la distancia de desplazamiento de un cuerpo en caída libre darle un significado en el contexto de la física.
Es así, como los conceptos fundamentales de la ecuación cuadrática tienen conexión en el contexto de la física, por ejemplo: el concepto raíz en la representación gráfica lo podemos interpretar como los puntos de intersección de la gráfica con el eje horizontal, en la forma algebraica a través de la fórmula general obtener el valor de la raíces y determinar que la ecuación tiene dos raíces reales iguales y finalmente en el contexto de la física asociamos la representación gráfica y algebraica para interpretar que la raíces corresponden al punto donde se deja caer el objeto al referirnos a la caída libre de los cuerpos.
De esta manera se pueden contextualizar los conceptos matemáticos al abordar un tema en un contexto diferente al de las matemáticas, y de esta manera se pueden identificar conexiones en uno y otro contexto, lo cual no ocurrirá cuando únicamente existe la mecanización de fórmulas y memorización de conceptos.
Así, “Cuando los estudiantes pueden conectar ideas matemáticas, su comprensión es más profunda y duradera. Pueden ver conexiones matemáticas en la rica interacción entre los temas matemáticos, en contextos que relacionan las matemáticas con otras disciplinas y en sus propios intereses y experiencias. A través de una enseñanza que resalte la interrelación de las ideas matemáticas, no sólo aprenden la asignatura sino que también se dan cuenta de su utilidad” (NCTM, 2000).
BIBLIOGRAFÍA
• Ramírez, J. (2007). La ecuación de segundo grado en diversos contextos. Tesis de maestría. U.A.E.H. México.
• Baldor, A. (2001). Álgebra. Publicaciones Cultural. México.
• Santos, L.M. (1997). Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas. México. Grupo editorial Iberoamerica. Segunda edición.
• The Nacional Council of Teachers of Mathematics (NCTM). (2000). “Principios y estándares de la educación matemática”. Sevilla, España. Sociedad Andaluza de Educación Matemática, Thales.
• Tippens, P. E. (1994). Física: Conceptos y Aplicaciones. México. Mc. Graw Hill.
• Pérez, M. H. (2005). Física General. México. Publicaciones Cultural. Sexta reimpresión.