Niveles de entendimiento de la función lineal

Resumen

Uno de los objetivos centrales de la educación matemática es lograr que los estudiantes adquieran un aprendizaje con entendimiento de ideas matemáticas fundamentales, entre las que destaca el concepto de Función Lineal. Las Funciones Lineales constituyen uno de los conceptos matemáticos más sencillos que puedan utilizarse para entender una amplia variedad de fenómenos. Sin embargo, las investigaciones en educación matemática muestran evidencias de que los estudiantes poseen diversas dificultades de comprensión en torno a este concepto. En el presente trabajo se propone un marco para analizar el nivel de entendimiento que los estudiantes desarrollan, en la secundaria, al abordar tareas de aprendizaje relacionadas con la identificación y generalización de patrones.
El trabajo de campo se llevó a cabo con alumnos de primer año de secundaria; quienes abordaron tareas relacionadas con generalización de patrones lineales. El marco conceptual utilizado para el análisis de datos se estructuró en torno a tres elementos: aprendizaje con entendimiento, elementos del pensamiento algebraico y características de la función lineal. La metodología empleada fue de corte cualitativo, se analizaron datos escritos, así como videograbaciones y grabaciones de audio. Los resultados del trabajo muestran que las actividades en las que se generalizan patrones lineales pueden aportar elementos para que los estudiantes construyan un aprendizaje con entendimiento del concepto de función lineal. Este tipo de actividades permiten que el estudiante desarrolle elementos del pensamiento algebraico, así como establecer vínculos con el pensamiento numérico.

Palabras clave: Entendimiento, Pensamiento Algebraico, Función Lineal

Abstract

One of the central objectives of mathematics education is to enable students to acquire learning with understanding of fundamental mathematical ideas, in which stands out the concept of linear function. Linear functions are one of the simplest mathematical concepts that can be used to understand an ample variety of phenomena. However, research in mathematics education show evidence that students have several difficulties of understanding around this concept. The current work aims a framework to analyze the level of understanding that students develop in lower secondary, when addressing learning tasks related to the identification and generalization of patterns.
The field work was carried out with students from first grade of secondary; whom have considered tasks related to generalization of linear patterns. The conceptual framework used for data analysis was structured around three elements: learning with understanding, elements of algebraic thinking and characteristics of linear function. The methodology used was qualitative, written data were analyzed, as well as videotapes and audio recordings. The results of the study show that the activities in which linear patterns are generalized provide elements for the students to build learning with understanding of the concept of linear function. Such activities allow students to develop elements of algebraic thinking and establish links with the numerical thinking.

Keywords: Understanding, Algebraic thinking, Linear function.

Niveles de entendimiento de la función lineal

Nivel	Características de los niveles de entendimiento de la función lineal
*Nivel 1* Reconocimiento	Los estudiantes son capaces de: Identificar que dos cantidades varían conjuntamente. Identificar cualquier forma de representación. Identificar la variación lineal de una cantidad respecto de otra en casos específicos.
*Nivel 2* Análisis	Los estudiantes son capaces de: Representar y generalizar patrones lineales de manera gráfica, tabular, figural o mediante sucesiones numéricas. Distinguir la variación lineal y no lineal así como su representación gráfica.
*Nivel 3* Resolución	Los estudiantes son capaces de: Comprender el significado de una razón o tasa de cambio constante en diversas representaciones. Resolver sistemas de ecuaciones lineales en una o más variables e interpretar el significado de las soluciones. Modelar fenómenos que se rijan por medio de un comportamiento lineal.
*Nivel 4* Aplicación	Los estudiantes son capaces de: Conjeturar y probar teoremas que involucran transformaciones lineales y su representación matricial. Establecer relaciones entre teoremas del álgebra lineal.
*Nivel 5* Abstracción	Los estudiantes son capaces de: Entender el concepto abstracto de espacio vectorial, así como el de base y dimensión. Analizar y entender estructuras algebraicas en el contexto del álgebra lineal.

Hojas de trabajo.

Primera tarea. Número de estrellas

INSTRUCCIONES: Observa la siguiente figura, lee cada una de las siguientes preguntas y contesta los que se te indica. Anota procedimientos.
(Utiliza juego geométrico si es necesario realizar trazos)

TIEMPO: 70 minutos

Observa la siguiente figura.

Dibuja las figuras que corresponden a la posición 4, 5 y 6
Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántas estrellas hay en la figura que se encuentra en la posición 7? ¿y en la 8?
¿Cuántas estrellas hay en cada caso?
¿Cuántas estrellas hay en la figura que ocupa la posición 20?
¿Cómo obtuviste este resultado?
Existe alguna regla que te permita conocer el número de estrellas en una figura si conoces la posición de ésta ¿Cuál es esa regla?
¿Cuál es el número de estrellas que hay en la figura que se encuentra en la posición n?
Calcula la variación y el cambio
Elabora una gráfica colocando en el eje horizontal el número de figura y en el eje vertical la cantidad de estrellas que corresponde a cada figura.
La razón de cambio entre la posición 3 y 4 es.
¿Cuál es lo común entre la variación y el cambio y la gráfica?
¿Qué relación existe entre la tasa de variación y la gráfica?

Análisis general de las tareas para determinar el nivel de entendimiento

Preguntas	E1	E3	E6
Dibuja las figuras que corresponden a la posición 4,5 y 6	Observa la siguiente figura.	Observa la siguiente figura.	Observa la siguiente figura.
Sin hacer el dibujo ¿puedes saber cuántas estrellas hay en la figura que se encuentra en la posición 7? ¿y en la 8?	15 estrellas en la posición siete y diecisiete en la ocho.	En la posición siete 15 estrellas y en la posición ocho, diecisiete.	Vi que en la posición seis arriba había siete estrellas, entonces, le agregué uno que en total sería ocho estrellas y en la parte de abajo son seis entonces le agregué una y eso lo convierte como siete abajo para saber la posición ocho hice lo mismo tome la posición siete y como arriba en la posición siete había ocho le agregué uno y se convirtió en nueve estrellas arriba y en la posición siete había ocho arriba y siete abajo.
¿Cuántas estrellas hay en cada caso	Yo hice una tabla.	Para eso utilice una tabla Observa la siguiente figura.	Observa la siguiente figura.

¿Cuántas estrellas hay en la figura que ocupa la posición 20?	20 por dos cuarenta más uno cuarenta y uno.	Cuarenta y un estrellas.	Cuarenta y uno.
¿Cómo obtuviste este resultado?	Con la fórmula, cualquier número por dos más uno. (20 * 2)+1=41 O poniendo el número de posición el de las estrellas de abajo y agregándole uno arriba.	Por medio de una fórmula.	Por medio de una regla.
Existe alguna regla que te permita conocer el número de estrellas en una figura si conoces la posición de esta ¿Cuál es esa regla?	(20*2)+1	(20*2)+1 20(2) =40+1
¿Cuál es el número de estrellas que hay en la figura que se encuentra en la posición n?	Es la misma, porque no sabes cuál es la posición n. (n*2)+1	(n*2)+1	n(2)+1
Calcula la variación y el cambio	El cambio en estrellas dos y en posición uno. La variación 5-3=2 y 2-1=1. Entonces varia de 2/1	Dos el cambio en estrellas y uno en posición.	Varía dos en estrellas cuando se mueve uno en posición
Elabora una gráfica, colocando en el eje horizontal el número de figura y en el eje vertical la cantidad de estrellas que corresponde a cada figura.
La razón de cambio entre la posición 3 y 4 es.	Es dos. (9-7)/(4-3)=2/1	Es dos a uno	2/1
¿Cuál es lo común entre la variación y el cambio y la gráfica?	Pues, que ambos muestran cuánto hay de diferencia dos si la variación es continua de uno en uno la razón de cambio es dos.	Todos tienen su variación, una cantidad de estrellas que van aumentando que son dos. Y el cambio en posición un lugar y en estrellas dos estrellas.	Ambas te van indicando cuánto tienen que ir aumentando el número de estrellas.
¿Qué relación existe entre la tasa de variación y la gráfica?	Las dos muestran que cada posición continua aumenta dos estrellas.	Que aumentan en cada posición dos estrellas, es decir, dos sobre uno, dos que son la diferencia del número de estrellas aumentadas y uno que es la diferencia de posición. Igual que la gráfica.	Las dos te muestran el aumento de estrellas de una posición a otra posición.

Bibliografía

Bardini, C. Pierce, R. U. & Stacey, K. (2004). Teaching linear functions in context with graphics calculators: students’ responses and the impact of the approach on their use of algebraic symbols. International Journal of Science and Mathematics Education, 2(3), 353-376.

Dubinsky, E. & Wilson, R. T. (2013). High school students´ understanding of the function concept. The Journal of Mathematical Behavior, 32 (1), 83-101.

Hiebert, J., Carpenter, T. P., Fennema, E., Fuson, K. C., Wearne, D., Murray, H., Olivier, A., & Human, P. (1997). Making sense: teaching and learning mathematics with understanding. Portsmouth: NH: Heinemann.

Radford, L., & Peirce, C. S. (2006). Algebraic thinking and the generalization of patterns: A semiotic perspective. In Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, North American Chapter (Vol. 1, pp. 2-21).

Usiskin, Z. (1982). Van Hiele levels and achievement in secondary school geometry (Final Report of the Cognitive Development and Achievement in Secondary School Geometry Project). Chicago, IL: University of Chicago, Department of Education.

^[a] Profesora Escuela Preparatoria N°3