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= This research documents some of the possible causes that do not low students to establish the joint between some geometric concepts, as the height of the triangles, with the height used for the calculation of areas of polygons, or the idea that the height of polygons is associated with the perpendicularity which is fundamental for the calculation of minimum range of a point to a straight line and with some problems of optimization, and the orthogonal distance of a point to the cartesian axes.
Also the impact that may cause, in the students' learning process the systematic use of technology is documented in activities of self-instruction analyzing the possibilities and progresses in the articulation of the concept height with other geometric concepts. This giving elements that they allow to verify or rejecting the hypothesis of that the students who use a software in a learning situation advance from level 0 (basic) or level 1 (analysis) of Van's Hiele geometric thought theory, which places other superior levels in this case up to the level 2 (informal deduction) at present.
To design activities of learning with technology support so as to document the impact on the students. five phases of teaching adequate were considered for the progress of the student proposed by Van Hiele , that are: Phase 1; Discernment, phase 2; Managed Orientation, phase 3; Expliciting, phase 4; Free Orientation, phase 5; Integration. Finally a second questionnaire was applied with students and the geometrical reached level thought was documented, like the result that encouraged the use of the technology in the learning of this concept and it’s linking with other geometric concepts.
Keywords: Height, height of a triangle, perpendicular, polygon, apothem, Van Hiele Levels, trigonometry, Tic's, Geogebra, Geometre Cabri, Derive.
Esta investigación documenta algunas de las posibles causas que no lo hacen los estudiantes de bajos para establecer la unión entre algunos conceptos geométricos, como la altura de los triángulos, con la altura utilizada para el cálculo de las áreas de los polígonos, o la idea de que la altura de los polígonos es asociado con la perpendicularidad que es fundamental para el cálculo de la distancia mínima de un punto a una línea recta y con algunos problemas de optimización, y la distancia ortogonal de un punto a los ejes cartesianos.
Asimismo, el impacto que puede causar en el proceso de aprendizaje de los estudiantes el uso sistemático de la tecnología está documentado en las actividades de autoaprendizaje analizar las posibilidades y progresa en la articulación de la altura del concepto con otros conceptos geométricos. Esto da elementos que permiten verificar o rechazar la hipótesis de que los estudiantes que utilizan un software en un avance situación de aprendizaje desde el nivel 0 (básico) o el nivel 1 (análisis) de Hiele teoría de pensamiento geométrico de Van, que pone otros niveles superiores de este caso hasta el nivel 2 (deducción informal) en la actualidad.
Para el diseño de actividades de aprendizaje con apoyo tecnológico con el fin de documentar el impacto en los estudiantes. cinco fases de la enseñanza adecuada se consideraron para el progreso del estudiante propuesto por Van Hiele, que son: Fase 1; Discernimiento, la fase 2; Orientación administrado, fase 3, explicitando, fase 4, la orientación libre, la fase 5, la integración. Por último, un segundo cuestionario se aplicó con los estudiantes y el pensamiento geométrico nivel alcanzado fue documentado, al igual que el resultado de que alentó el uso de la tecnología en el aprendizaje de este concepto y es la vinculación con otros conceptos geométricos.
Palabras Clave: Altura, altura de un triángulo, perpendicularidad, polígono, apotema, Van Hiele, Niveles, trigonometría, Tic’s, Geogebra, Cabri Geometre, Derive.
El uso de programas interactivos en el área de matemáticas a permitido a los alumnos conceptualizar algunos conceptos matemáticos que anteriormente los estudiantes se aprendían de memoria pero no le quedaba claro a que se referían.
Algunos estudios han documentado que el uso de las TIC’s en actividades de aprendizaje ayuda a explorar elementos importantes del pensamiento matemático, como a la fecha se han desarrollado varios software aplicados al área de las matemáticas, como es Derive, Logos, Geogebra, Excel y Cabri Geometre entre otros muchos, consultamos algunos estudios de como el empleo de alguno de estos micromundos ayudaría a los alumnos a construir su conocimiento.
Steen L. (1990) Afirma que desarrollos importantes en la tecnología han motivado cambios no solo en el conocimiento para estudiar sino también en la forma de aprender.
Por otra parte Santos, M. (2002) argumenta: “El uso de programas de cómputo ofrece claras ventajas a los estudiantes para identificar y explorar diversas relaciones matemáticas”
Hitt F. (1996) argumenta que el uso de determinados software en el aprendizaje han influido en el aprendizaje de las matemáticas.
Schoenfeld A. (1988) Identifica tres formas en que la tecnología puede ayudar a modificar las creencias de los estudiantes acerca de las matemáticas y la resolución de problemas.
En éste ensayo, se pretende documentar las causas que provocan, en los alumnos, la ruptura entre algunos conceptos geométricos, como son: la altura de un triángulo, perpendicularidad, el cálculo de áreas de polígonos, la distancia mínima de un punto a una recta, problemas de optimización, todos estos conceptos ligados al conocimiento de la altura de un triángulo.
También pretendemos cuestionar el impacto que tiene el uso de la tecnología en el aprendizaje de los estudiantes, al realizar actividades de aprendizaje en el área de Geometría por medio de un software dinámico.
Y argumentar si el uso de la tecnología permite a los estudiantes poner en práctica algunos de los elementos fundamentales del pensar matemáticamente como son:
En el documento de la NCTM (2000) se indica que la Geometría es “el lugar natural para el desarrollo del razonamiento y de las habilidades para la justificación de las demostraciones”, sin embargo, una experiencia casi generalizada es que los alumnos no relacionan muchos de sus conceptos geométricos con la utilidad que tienen para representar y resolver problemas en otras áreas de las matemáticas y de su propia actividad cotidiana.
En nuestra práctica docente por más de 28 años en el área de Matemáticas, en cada semestre hemos encontrado que los estudiantes del segundo semestre en el nivel Bachillerato y que cursan la asignatura de trigonometría, tienen problemas para desarrollar correctamente el cálculo de áreas de los diferentes polígonos que se les presentan, sobre todo cuando no tienen relacionados los datos que se utilizan en las formulas correspondientes, y es necesario calcular alguno de ellos, con otros datos conocidos que los lleven a un buen resultado; consideramos que el problema radica en que no conceptualizan el concepto de altura, una de las rectas notables de los triángulos, ni la relacionan con la apotema de los polígonos regulares, o la altura de un trapecio, o las diagonales de un rombo. Confundiéndola con otra de las rectas notables que es la mediana, por no tener presente el concepto el cual se define como “el segmento perpendicular trazado desde los vértices hasta el lado opuesto o a la prolongación de este”.
Al revisar los métodos que utilizan los alumnos para resolver los ejercicios sobre el cálculo de áreas de polígonos, encontramos que únicamente se concretan a utilizar fórmulas en forma mecánica y relacionar, con ellas, los datos proporcionados en los ejercicio, pero sin establecer conexiones entre los elementos geométricos que intervienen en el problema, por lo tanto no utilizan los datos inherentes en el ejercicio para calcular algún dato faltante par el uso directo del algoritmo utilizado en el cálculo de las áreas.
También se enfrenta uno a la idea casi generalizada de los alumnos, de que un triángulo solo tiene una base y una altura; que una gran mayoría de los estudiantes, trazan sus triángulos con uno de sus lados paralelo a la horizontal, desgraciadamente los textos también lo hacen, y si los trazamos en el pizarrón o en la pantalla utilizando un software dinámico con los lados con inclinaciones, pierden la perspectiva de cuál es el lado que representa la base, no visualizan que todo triángulo tiene 3 bases y 3 alturas.
Me parece muy importante el concepto de altura, no solo para el cálculo de áreas de polígonos, sino aunado al concepto de perpendicularidad, que se utiliza para estudio en materias posteriores, como en Geometría Analítica, donde se debe calcular la distancia del centro de una circunferencia a una recta mismo que representa al radio y que es la distancia perpendicular del punto a una recta tangente, y que también se aplica en el cálculo de distancias de puntos en el plano cartesiano, o en problemas de optimización.
De ahí nuestra intención de establecer que un software dinámico, puede contribuir a mejorar el aprendizaje, sobre todo sabiendo a que a los alumnos les agrada trabajar con la computadora, sin embargo es importante mencionar que no se debe dejar de utilizar en estos temas el uso tradicional de papel y lápiz para un mejor aprendizaje significativo en el concepto que le asigna Ausubel D. P.
Los razonamientos expuestos con anterioridad nos dan una evidencia de la falta de estructura en los conocimientos adquiridos por los alumnos que han tomado anteriormente cursos de geometría.
En consecuencia vienen a la memoria los siguientes cuesstinamientos
¿DE QUE MANERA INFLUYE EN EL APRENDIZAJE DE LOS ALUMNOS, EL USO DE LAS TICS EN LA MATERIA DE TRIGONOMETRIA, PARA VINCULAR EL CONCEPTO DE ALTURA DE UN TRIANGULO, PARA EL CALCULO DE AREAS EN CUALQUIER POLIGONO?
¿Los programas de cada materia en la curricula de matemáticas, contribuyen a que el alumno reste importancia al estudio de la geometría?
¿El uso sistemático de las TICs contribuye al aprendizaje significativo de los conceptos matemáticos en los alumnos?
¿ El uso de un software dinámico, ayuda al estudiante a vincular diferentes conceptos matemáticos?
El trazo de triángulos y sus rectas notables en forma convencional (papel y lápiz) ¿provoca perdida de objetividad en el estudio de estos temas?
¿De qué manera influye, el uso de las TICs en la materia de trigonometría, en el aprendizaje de los alumnos, del concepto de altura y el cálculo de áreas de cualquier polígono?
Las respuestas obtenidas después de haber aplicado varias sesiones de aprendizaje utilizando el software Cabri Geometre y el software Geogebra nos dan como respuesta que si se logra una mayor vinculación entre la definición y la conceptualización de altura de una triangulo
El uso sistemático de un software dinámico en las actividades del proceso Enseñanza-aprendizaje, influye en que el estudiante logre la construcción de un aprendizaje significativo, de conceptos de geometría y los relacione con otros de la misma materia o de otras de las que forman la curricula de matemáticas en el nivel bachillerato.
Concretamente en este ensayo nos referimos al concepto de altura de un triángulo, y su vinculación con la apotema en el cálculo de áreas de cualquier polígono, Cuando el alumno construye las rectas notables de los triángulos con la ayuda del programa, rápidamente logra estudiar un sin número de formas de triángulos, sin perderse con el manejo de escuadras en la forma tradicional y que tardan bastante más tiempo en visualizar estas formas y como están variando las rectas notables cuando los triángulos transitan por todas sus clasificaciones, de la misma manera, al seccionar mediante diagonales los diferentes polígonos, están formando triángulos, cuya suma de sus áreas es el área del polígono seccionado y vinculan, la altura de los triángulos con la apotema de la fórmula de las demás figuras.
Como base para el desarrollo de este ensayo tomamos como base la teoría de los esposos Van Hiele
Pensamiento Geométrico.
Van Hiele P. M. Van Hiele D. (1957) propusieron un modelo que explica cómo se produce la evolución del razonamiento geométrico de los estudiantes y a la vez es posible ayudarlos a mejorar la calidad de su razonamiento. Este modelo estratifica al razonamiento en cinco niveles, y dentro de cada nivel en una serie de fases que permiten analizar el aprendizaje de la geometría.
El aprendizaje es comparado a un proceso inductivo donde en el nivel n-1pueden ser estudiadas ciertas cuestiones limitadas de los objetos geométricos, en el nivel n se suponen conocidos los conocimientos del nivel n-1 y se explicitan las relaciones que estaban en el nivel anterior, aumentando así el grado de comprensión de conocimiento Beltrametti, M., Esquivel M Ferrari E (2001).
Nivel 0 Básico.- visualización,
En esta etapa los estudiantes están conscientes del espacio solo como algo que existe alrededor de ellos, en este caso los componentes geométricos se ven como entidades totales, las figuras geométricas son reconocidas sin considerar sus partes o propiedades por su forma como un todo, es decir por su apariencia física y por algo familiar que tenga la misma figura. Gutiérrez, A. y Jaime A.(1990) consideran que en este nivel están los niños en el preescolar y los primeros años de primaria.
Nivel 1 Análisis.
Aquí el niño o adolecente comienza a analizar los conceptos geométricos, por la experimentación con las figuras empiezan a discernir las características éstas tienen partes y son reconocidas mediante ellas. En este nivel los estudiantes aún no pueden explicar estas relaciones, no ven las interrelaciones entre las figuras, ni se entienden las definiciones. Gutiérrez, A. y Jaime A.(1990) encasillan en este nivel a los niños de los últimos grados de primaria y alguno de secundaria
Nivel 2 Deducción informal.
En este nivel los alumnos pueden establecer interrelaciones de las figuras por ejemplo que los lados de un triángulo son iguales si sus ángulos opuestos también son iguales, y que un cuadrado es un rectángulo, porque sus ángulos son rectos es decir ahora deducen propiedades de una figura y reconocer clases de figuras. Las definiciones ahora no solo se memorizan sino que tienen significado es decir las conceptualizan. Sin embargo aún no comprende el significado de deducción como un todo ni tampoco el rol de los axiomas en las deducciones.
Algunos resultados obtenidos de manera empírica se usan seguidos junto con las técnicas de deducción. Se pueden seguir pruebas formales, pero no ven como el orden lógico podía ser alterado, ni perciben tampoco cómo articular una demostración a partir de premisas diferentes o que no les sean familiares. Se considera que hasta éste nivel está el pensamiento geométrico de la mayoría de los alumnos de secundaria y bachillerato según un criterio de Gutiérrez, A. y Jaime A.(1990), quienes han realizado varias investigaciones tomando como base el modelo de Van Hiele .
Nivel 3 Deducción formal.
En este nivel de razonamiento se entiende el significado de la deducción como una manera de establecer una teoría geométrica utilizando axiomas, postulados, definiciones, teoremas y demostraciones. Aquí una persona o estudiante puede construir y no solo memorizar demostraciones, percibir la posibilidad del desarrollo de una prueba de varias maneras, entender la interacción de condiciones necesarias y suficientes y distingue entre una afirmación y su recíproca. En este nivel deben estar los alumnos que cursan una carrera en nivel licenciatura
Nivel 4 Rigor.
En esta etapa el alumno puede trabajar en una variedad de sistemas axiomáticos. Pueden estudiarse diferentes geometrías a la euclidiana y compararse diferentes sistemas axiomáticos. La geometría se capta en forma abstracta. Este es el nivel de los expertos
Para guiar al docente en el diseño de las experiencias o secuencias didácticas Pierre Marie. y Dina Van Hiele (1957) propusieron cinco fases de enseñanza con el fin de mejorar el aprendizaje del estudiante de la geometría y las nombra así:
Fase 1, discernimiento, Fase 2; orientación dirigida, Fase 3; explicitación, Fase 4; orientación libre; Fase 5; integración, estas faces se consideraran durante el diseño de las situaciones didácticas.
El software Cabri Géométre un programa computacional desarrollado por Ives Baulac, Franck Belleimain y Jean Marie Laborde, del laboratorio de estructuras discretas y de didáctica LSD2, del Instituto de Informática y Matemáticas aplicadas de Grenoble (IMAG) Francia, de la universidad Joseph Fourier de Grenoble, con el apoyo del Centro Nacional de la investigación científica (CNRS) de Francia, tomando como base el modelo de razonamiento geométrico de los esposos Van Hiele.
J.M. Laborde y Capponi C. (1994) consideran que Cabri Géométre posibilita el aprendizaje de las relaciones visuales y geométricas por varias razones: los fenómenos visuales tienen una gran importancia en la dimensión dinámica de este programa, y los fenómenos son controlados por la teoría de Van Hiele, pues son resultado de un modelo gráfico y de un modelo analítico de propiedades geométricas y las posibilidades sin límite de situaciones geométricas pueden ser visualizadas con un gran número de objetos de forma precisa.
Basándonos en el examen diagnostico que se practica en la preparatoria al inicio de cada semestre, a cada uno de los grupos, encontramos el problema mencionado anteriormente, para ver el impacto del uso de las TICs, la secuencia didáctica presentada tuvo la siguiente intención.
En vez de solicitarles trazar un triángulo y que lo dibujen con uno de sus lados paralelos, se les solicitará primero construir 3 puntos no coliniales en la pantalla, donde se les ocurran, después unirlos, cada punto los designaran con las letras A, B, C, como ya conocerán la definición del concepto “altura de triangulo” se les solicitara que construyan rectas perpendiculares desde cada vértice a su lado opuesto, y el punto de intersección donde se cruzan las rectas, sin mencionarles el fin que se persigue con ello.
Después que midan las longitudes de los segmentos AB, BC y AC. Que tracen segmentos sobre las rectas perpendiculares desde el vértice hasta el lado opuesto y los midan como AE, BF, CD.,
Que realicen las siguientes operaciones, y comparen los resultados
= = =
Con lo que espero se descubran que el triángulo tiene 3 bases y 3 alturas y que están calculando el área del polígono.
Después se les solicita que tomen con el cursor uno de los vértices y lo desplacen por la pantalla y observen como el triángulo toma todas sus clasificaciones, desde equilátero hasta escaleno y como el punto donde se cruzan las rectas perpendiculares unas veces están dentro y en otros están fuera de la figura, incluyendo que cuando sea un triángulo rectángulo dos de las alturas son a la vez dos de los lados.
Se les solicita que midan el ángulo que forman las rectas perpendiculares, con cada uno de los lados o su prolongación de estos, con lo que se espera logren vincular altura con perpendicularidad, es decir que el segmento que representa a la altura siempre debe medir un ángulo recto y esta figura, es muy conocida por los alumnos.
Para que observen la diferencia entre los segmentos que representan a la mediana con la altura se solicitara la construcción de un triángulo, con el software, y trazar una recta perpendicular de un vértice a su lado opuesto o la prolongación de este, con el comando punto medio que tracen el punto medio de este mismo lado y unan este punto con el vértice opuesto.
Para que visualicen que la altura del triángulo es la misma altura de otros polígonos, se le solicita primero que construyan un cuadrilátero y tracen en él una diagonal, con lo cual se forman dos triángulos, que tracen su altura y calculen el área de cada triangulo y las sumen, después que calculen el área del rectángulo y observaran que es la misma medida, y lógicamente la misma altura.
La actividad está destinada para que los alumnos descubran que la fórmula del área de un trapecio, tiene como base la fórmula del área de los triángulos relacionando las alturas del triángulo y el trapecio. Construirán un trapecio, trazarán una de sus diagonales nuevamente tenemos 2 triángulos, que tracen la altura de ellos, medir las longitudes de la base y altura respectiva, calculen el área y las sumen. Después calcular el área del trapecio con la fórmula original de este polígono y observaran que las bases de los triángulos son las bases mayor y menor del trapecio, y la altura es la misma vinculando el concepto planteado en el problema.
La actividad de aprendizaje consiste en que a partir de la construcción de un polígono regular (pentágono), obtener la fórmula para calcular su área utilizando la ecuación del área de los triángulos y puedan vincular al concepto altura del triángulo con la apotema del polígono. Trazando segmentos del centro a los vértices (radios), se divide en 5 triángulos iguales, dibujar las alturas de cada triángulo y con estos segmentos obtener el área de cada uno de ellos, finalmente al sumar las áreas se obtiene el área del pentágono, pero se espera que observen que la suma de cada base de los triangulo forman el perímetro y que la altura utilizada es la apotema de la fórmula para el cálculo de cualquier polígono regular.
Para documentar el impacto que tiene el uso del programa en las actividades de aprendizaje después de terminadas y en el ciclo de exámenes parciales de los alumnos no fue terminar las actividades, sino pasado un tiempo de al menos un mes, para verificar si se apropiaron del concepto y no sea memorización solamente, se solicitara la respuesta de las siguientes actividades:
1.- Calcular el área de un triángulo equilátero si uno de sus lados miden 18 unidades.
2.- Calcular el área de un rectángulo si su diagonal mide 26 unidades y el ancho 19.
3.- Calcular el área de un trapecio isósceles si sus bases miden 140 y 86 unidades respectivamente y sus lados no paralelos 56.
4.- Calcular el área de un eneágono cuyo radio mide 22 unidades.
5.- Un rombo mide en uno de sus lados 42 unidades, y uno de sus ángulos 70 grados, calcular el área.
6.- Traza dos rectas paralelas, coloca en una de ellas un punto y en la otra dos puntos une con segmentos estos 3 puntos; ahora visualiza que puedes desplazar el punto que está solo en la recta a lo largo de ella, con lo cual se formaran una infinidad de triángulos, Por simple inspección, indica ¿cómo será el área de todos los triángulos formados y porque?.
De la misma manera ¿cómo será el perímetro de cada uno de los triángulos formados y por qué?
Las preguntas y solución de problemas, tienen como finalidad documentar si los conceptos solo están memorizados o conceptualizados nos permiten documentar si el alumno relaciona los segmentos que representan cada uno de los componentes de la fórmula del área de los triángulos, y, nos proporcionarán información sobre como los estudiantes vinculen la altura de un triángulo, con las alturas utilizadas en las fórmulas para calcular el área de otros polígonos.
Las respuestas obtenidas por los grupos del segundo semestre segundos seis y ocho una del turno matutino y otro del turno vespertino, nos demuestran que el uso sistemático del uso de un programa dinámico en la estructura de las actividades de aprendizaje, los ayudan a vincular los conceptos de altura con el de apotema de un triángulo, de la misma manera conceptualizan que la altura de cualquier polígono está relacionada con la recta que representa la altura en los triángulos.
El índice de aprovechamiento en estos grupos fue superior, a lo experimentado en semestres anteriores, lo que atribuimos al uso del software, en muchos de los temas que forman el programa de la materia Trigonometría.
Las sesiones fueron para ellos más dinámicas, porque al hacer uso de la computadora, algo que les gusta, su interés por los temas fue mayor a cuando se lleva la clase en forma tradicional de papel y lápiz.
Se comprobó los que varios de los investigadores sobre el tema han publicado sobre el uso de las TIC’s en actividades de aprendizaje.
Beltrametti,M. C., Esquivel, M.Ferraari E. (2201) hhtp:/www.hemorodigital.unam.mx/ANUIES.
Gutiérrez, A. Pastor, A (1994) Una propuesta de fundamentación para la enseñanza de la Geometría : el modelo de Van Hiele www.educadirmarista.com/articulos/didactica y matemáticas.htm
Hitt, F. (1996) En Santos M. 1997 Principios y métodos en la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas. México: Grupo Editorial Iberoamérica
National Council of teachers of mathematics. (2000) principles and standars for school mathematics. Reston, VA National Council of teachers of mathematics
Polya, G. (1965) Cómo plantear y resolver problemas. Editorial trillas
Santos, M. (2002) Potencial didáctico del software dinámico en el aprendizaje de las matemáticas, Avance y Perspectiva Vol. 20 Innovaciones Educativas.
Schoendfeld, A. (1988). Mathematics, technology, and higher order thinking. In R.S. Nikerson & Sodhiates Eds Technology in education.
Steen, L. (1990). One the shoulder of giants. New approaches to numeracy. Washington , D.C.: National Research Council of teachers of mathematics.
Van Hiel, P. Van Hiel, D. (1957) ..http://www.hemorodigital.unam.mx/ANUIES.
www.educadirmarista.com/articulos/didacticaymatematicas.htm
[a] Profesor de la Escuela Preparatoria No. 4