On the relation between the Fiedler value and the Kirchhoff index of weighted graphs

Federico Menéndez-Conde Lara

Autores/as

Federico Menéndez-Conde Lara Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo https://orcid.org/0000-0002-8741-4331

Palabras clave:

conectividad de redes, valor Fiedler, indice de Kirchhoff, optimizacion de eigenvalores, resistencia efectiva

Resumen

Se consideran dos cantidades asociadas a una gr´afica Γ que, en diferentes formas, miden qu´e tan fuertemente conectada est´a la gr´afica: la conectividad algebraica (valor Fiedler) y la resistencia efectiva total (´ındice de Kirchhoff). Se plantean los siguientes problemas de optimizaci´on: 1. De entre las asignaciones de pesos en las aristas de Γ para las que la gráfica tiene resistencia efectiva total igual a una constante dada, determinar los que maximizan la conectividad algebraica. 2. De entre las asignaciones de pesos en las aristas de Γ para las que la gr´afica tiene conectividad algebraica igual a una constante dada, determinar los que minimizan la conectividad algebraica. Para la gr´aficas completas, mostramos que la soluci´on al primer problema se alcanza cuando el peso en las aristas es constante. El resultado principal de este trabajo es la prueba de que el segundo problema no tiene soluci´on cuando Γ es un ´arbol: el ´ındice de Kirchhoff no alcanza un valor m´ınimo bajo la restricci´on de que el valor Fiedler est´e fijo. Como consecuencia de esto, la raz´on λ3/λ2 entre eigenvalores del laplaciano puede hacerse arbitrariamente grande eligiendo pesos apropiados en cualquier ´arbol dado.

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