Una nota aritmetica: potencias de enteros y dígitos decimales
Resumen
En teoría de numeros se han formulado y contestado varias preguntas aritméticas que conciernen a la representación de enteros en base 10. Por ejemplo, Kempner (1914) demuestra que al suprimir en la serie armonica a todos los sumandos que no tiene un digita dado, converge. Recientemente, Maynard (2019) ha demostrado que los primos que no tienen un dígito dado en su representacion decimal son infinitos. En relación con la representación de dígitos en base diez se puede formular una amplia gama de preguntas como las que a continuacion se formulan. Para un entero n fijo, ¿se puede anticipar el tipo de dígitos que aparecen cuando se eleva n a diversas potencias? Dado un bloque de dígitos, ¿existe u, entero positivo, tal que en la representacion decimal de n^u aparezca ese bloque de dígitos? ¿Para cuales primos p, existe un entero u tal que en la representacion decimal de p^u aparezcan bloques de dígitos dados de π? El objetivo de esta nota es dar respuesta a las preguntas anteriores.
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Citas
Barrera, F. (2004). Introduccion a la Teoria de Grupos. Sociedad Matematica Mexicana.
Gordon, A. R. (2019). Comments on subsums of the harmonic series. The American Mathematical Monthly, 126:275–279.
Kempner, A. J. (1914). A curious convergent series. The American Mathematical Monthly, 21:48–50.
Lubeck, B. y Ponomarenko, V. (2018). Subsums of the harmonic series. The American Mathematical Monthly, 125:351–355.
Maynard, J. (2019). Primes with restricted digits. Invent. math., 217:127–218.
Rosen, K. H. (1986). Elementary Number Theory and lts Applications. Addison-Wesley Publishing Company.
Silverman, J. H. (2006). A friendly introduction to number theory. Pearson Prentice Hall.
