Una nota aritmetica: potencias de enteros y dígitos decimales

Resumen

En teoría de numeros se han formulado y contestado varias preguntas aritméticas que conciernen a la representación de enteros  en base 10. Por ejemplo, Kempner (1914) demuestra que al suprimir en la serie armonica a todos los sumandos que no tiene  un digita  dado, converge. Recientemente, Maynard (2019) ha demostrado que los primos que no tienen un dígito dado en su representacion decimal son infinitos. En relación con la representación de dígitos en base diez se puede formular una amplia gama de preguntas como las que a continuacion se formulan. Para un entero  n fijo, ¿se puede anticipar el tipo de dígitos que aparecen cuando se eleva n a diversas potencias? Dado un bloque de dígitos, ¿existe u, entero positivo, tal que en la representacion decimal de n^u aparezca ese bloque de dígitos? ¿Para cuales primos  p, existe un entero u tal que en la representacion decimal de  p^u aparezcan bloques de dígitos dados de π? El objetivo de esta nota es dar respuesta a las preguntas anteriores.